第235章 李氏猜想 (第1/2页)
这个Conjecture。
像是一个人走到悬崖边上，既没带绳子，也没带扣环，就这麽往空中一指……
说这儿能过去。
一时间，朗兰兹竟然有些晃神。
他这辈子看过无数的Conjecture。
有些Conjecture是漂亮的，需要你眯着眼，把里面那点巧妙的结构看出来。
有些Conjecture是笨的，直接拿证据堆出来的，看一眼就知道它想说什麽。
但像眼前这一个……
他是第一次见。
刚刚那七十六页，是李东给它打下的地基。
而这张A4纸上的几行字。
让他隐隐约约看到了一栋大厦。
这座大厦很高很大。
他只能仰望。
看不清轮廓。
“几乎处处相等吗……”
朗兰兹的嘴里像在叨念着这几个字。
几乎处处相等。
实分析里最朴素不过的四个字。
可是这四个字落在这儿，分量却是很重。
对关联函数，承载的是零点的统计信息。
而零点的统计信息，是自守L函数最深的、最後才被人看到的那一面。
两个欧拉乘积不一样的自守L函数，零点集合会几乎处处重合？
朗兰兹的第一反应是……
不可能。
可他没急着把这张纸放下。
他又看了看手中的A4纸。
弗兰克就坐在对面。
没有说话。
只是把第五杯咖啡，轻轻放到了老人的手边。
朗兰兹下意识地伸手去摸桌上的钢笔。
他想试一试。
这种东西，就是一个Conjecture，是不是还能做一些很小的验证啊？
朗兰兹说不准。
但他总归要伸手碰一碰，才知道它是一碰就破，还是一碰就立。
他抽过一张白纸，把钢笔的套一拧开。
最先写下的，是一个所有人都熟得不能再熟的情形。
循环基变换。
GL(2)在一个循环扩张E\/F下的基变换，这是1989年他自己的学生亚瑟和克洛泽尔就已经干完的事情。
π是GL(2，A_F)的一个尖点自守表示。
E\/F是循环扩张，伽罗瓦群由一个特征χ生成。
π的基变换π_E的L函数，可以写成π被χ的各次方扭後的L函数的乘积。
L(s，π_E)=∏L(s，π?χ^k)
朗兰兹的笔在“∏”这个符号上停了一下。
他要验证的是充要条件里的必要那一半。
在这个已经被证明的特例里，李东那张纸上的结论应该是自洽的……
π_E既然是π的转移，那它们的对关联函数就应该几乎处处相等。
老人很慢地在纸上算。
L(s，π_E)的零点集，是那几个L(s，π?χ^k)零点集的并。
π_E的对关联函数F_{π_E}(a)，形式上应该分成两部分。
一部分，是每一个L(s，π?χ^k)自身零点内部的对相关。
这些跟F_π(a)形状是一样的，因为扭乘不改变GUE普适性。
另一部分，是不同的L(s，π?χ^k)的零点彼此交叉的相关项。
朗兰兹的笔停住了。
这个交叉项。
按李东的判据，它在[0，4\/n]区间里应该消散成……
他慢慢地往後算。
算到一半。
他眉头轻轻皱了一下。
弗兰克看着他那皱起来的眉毛。
心也跟着提了起来。
又过了几分锺。
朗兰兹那紧皱着的眉头，才慢慢地松开。
交叉项里，那个本来让他觉得不对劲的地方，在李东那个e_v≤n的分歧指数限制下，会被狠狠地压下去。
压到几乎处处为零。
朗兰兹轻轻“嗯”了一声。
必要方向的这一半，在循环基变换这个特例上，是立得住的。
但这还不够。
因为必要方向太容易了。
函子性一旦成立，L函数相等，零点就相等，对关联函数自然也相等。
真正让他想伸手碰一碰的，是反过来的那一半。
两个尖点自守表示，只要它们的对关联函数几乎处处相等，就一定由函子性关联起来？
朗兰兹拿起了一张纸。
他打算找一个反例。
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